jueves, 24 de octubre de 2013








Tipos de ángulos
Si dos rectas b c son cortadas por una secante a podemos obtener distintos ángulos. Si los ángulos que forma la secante con las dos rectas están por la parte exterior se llamanexternos, si están por la parte interior se llaman internos.
Si consideramos la recta secante a como la separación entre los dos semiplanos, aquellos ángulos que quedan en los dos semiplanos distintos se llaman alternos, si son exteriores a las rectas se llaman alternos externos y si son interiores a las rectas se llaman alternos internos.
Ángulos correspondientes son los que están localizados en el mismo semiplano que define la secante, mientras que conjugados son los que están en el mismo semiplano pero interior o exteriormente a las rectas b c, denominándose conjugados internos o externos respectivamente.
Si dos rectas paralelas son cortados por una secante, una de ellas, por ejemplo la recta b, determina dos ángulos distintos: el ángulo verde y el amarillo. Como podemos observar los ángulos opuestos por el vértice son iguales, en consecuencia los dos verdes son iguales entre si y los dos amarillos también son iguales entre ellos. Como la recta c, paralela a la anterior, produce con la secante ángulos iguales tenemos el mismo caso que el anterior, podemos sumar además la relación que existe entre las dos rectas:todos los ángulos amarillos son iguales entre ellos y los verdes también lo son entre ellos.


---------------------------------------------------------------------






 Ángulo inscrito en una circunferencia es aquel que tiene el vértice situado sobre la misma y los lados del ángulo cortan a la circunferencia en puntos distintos al vértice.

 Teorema 1


Vamos a demostrar que el ángulo b es la mitad del ángulo c.

Se pueden dar los siguientes casos:


1º- El centro de la circunferencia incide en un lado del ángulo.
 Observamos en la figura que el triángulo amarillo es isósceles, ya que tiene un vértice en el centro de la circunferencia y los otros dos sobre la circunferencia, tenemos por tanto que b es igual a a. Haciendo por el centro de la circunferencia una paralela a la recta que pasa por ab obtenemos los ángulos d y e. Por ser una recta paralela, a es igual a e y d es igual a b, pues una recta cortada por dos paralelas produce ángulos iguales. Entendemos también que los ángulos opuestos por el  vértice son iguales, por lo que d+e es igual a c. Pero la mitad del ángulo d+e es igual al ángulo b, por lo que el doble de b es igual a c.



---------------------------------------------------------------------



---------------------------------------------------------------------





3º- El centro de la circunferencia está dentro del ángulo.

Según lo demostrado en el primer caso tenemos que el doble del ángulo a es igual al ángulo d y el doble del ángulo c es igual al ángulo e, por lo que el doble del ángulo (a+c) es igual al ángulo d+e. 


--------------------------------------------------------------------- 





Teorema 2

Como conclusión de los tres casos anteriores podemos deducir que todos los ángulos inscritos en la circunferencia que abarcan un mismo arco son todos iguales: el azul a igual al rojo b, éste igual al verde c, etc. 


---------------------------------------------------------------------







Teorema 3

Como caso particular del anterior tenemos que si el arco comprende una semicircunferencia, los ángulos inscritos que inciden en los extremos del diámetro son siempre rectos (valen 90°), ya que según lo demostrado en el primer caso valen la mitad del ángulo llano (de 180°) de la semicircunferencia. 



---------------------------------------------------------------------

Ángulo semiinscrito a es aquel que teniendo un vértice incidente en la circunferencia, tiene un lado tangente y otro secante a la misma (en color magenta). 



Teorema 4. Podemos tener los siguientes casos:


1º- El centro es incidente en un lado del ángulo. En el dibujo, como el lado secante incide en el centro el ángulo abarca media circunferencia y por lo tanto tiene 90° (la tangente en un punto de la circunferencia es siempre perpendicular a un diámetro de la misma), al igual que cualquiera de los inscritos (b) que tienen también 90°, según el ejercicio anterior.





---------------------------------------------------------------------








2º- El centro de la circunferencia es exterior al ángulo c. 


El ángulo verde más naranja es de 90°, igual que el ángulo azul más magenta. Como el naranja  y el magenta abarcan el mismo arco son ángulos iguales (según el Teorema 2), por lo que si al primero (b+c) le quitamos el naranja b y al segundo (a+d) el magenta a tenemos que el ángulo verde c es igual al ángulo azul d.


---------------------------------------------------------------------




3º - El centro de la circunferencia es interior al ángulo c+b. 
Si a este ángulo magenta más verde le quitamos el verde, obtenemos el ángulo recto c que es igual a d, conforme al primer caso. Y como conforme al Teorema 2 todos los ángulos comprendidos en un mismo arco son iguales, entonces a es igual a b, en consecuencia tenemos que c+b es igual a a+d.



---------------------------------------------------------------------






Teorema 5
Un vértice interior T de un ángulo (amarillo) en la circunferencia es igual a la suma de los ángulos inscritos que abarcan los mismos arcos que él y su opuesto por el vértice. El ángulo correspondiente al sector amarillo es la suma de los ángulos magenta y verde por lo siguiente: si dos rectas paralelas s p son seccionados por una recta secante m, forman ángulos correspondientes iguales, por tanto los ángulos verdes a a’ son iguales; y si dos rectas paralelas  s p son seccionadas por una recta secante g, los ángulos internos  b b’ (en color magenta) son iguales. En el dibujo se puede verificar que el ángulo amarillo es igual a la suma del verde a (o a’) y naranja b (o b’).



---------------------------------------------------------------------






Teorema 6. Si el vértice es exterior a la circunferencia, su ángulo a (en color naranja) es igual a la diferencia entre los ángulos inscritos correspondientes a los dos arcos que abarcan sus lados. Tenemos el ángulo en color naranja exterior a la circunferencia que corta a la misma en el punto T por uno de sus lados. Por T hacemos una recta p paralela al otro lado s. Tenemos entonces por la parte superior un ángulo a’ idéntico al dado (en color naranja) ya que las rectas paralelas sp están cortadas con la misma secante f y tenemos por el otro lado que también dos rectas paralelas sp son cortadas por otra secante z generando dos ángulos internos iguales b b’  (en color azul). Como podemos observar en el dibujo, el ángulo que corresponde a la fracción amarilla le restamos el trozo angular azul b=b’ y nos queda el naranja a=a’.


---------------------------------------------------------------------


Ejercicios


Demostrar gráficamente que el ángulo alfa es igual al ángulo central comprendido por la cuerda ED, con la particularidad de que CD sea un diámetro de la circunferencia.
Para demostrar que el ángulo del triángulo rosa es la mitad que el ángulo central que comprende la cuerda ED, consideramos primero que el ángulo alfa de color rosa es inscrito, que quiere decir que tiene un vértice sobre un punto de la circunferencia, pero abarca la misma cuerda DE que el central.
Si por el centro de la circunferencia A hacemos una recta a paralela a la recta CE, tenemos que el ángulo central queda dividido en dos franjas de color verde y azul, la correspondiente a la parte azul tiene el mismo ángulo que alfa, ya que está comprendido por la misma recta CD y por una recta a paralela  a m.
Como la recta a es la bisectriz de EAD, tenemos que el ángulo beta de color verde es el simétrico del azul, por tanto los dos (el azul más el verde) son el doble de alfa.
También puede quedar patente en la medida en que en el triángulo de color rosa el ángulo C es igual al ángulo E (por ser un triángulo isósceles), y como este último es igual a Beta -por ser alternos internos-, tenemos que Beta es igual alfa, que sumado a  gamma que también era igual, generan entre los dos un ángulo doble de alfa.


---------------------------------------------------------------------


Demuestra que un ángulo inscrito (alfa más fi) comprende el valor de la mitad del ángulo central (beta más gamma más épsilon).
Teniendo la misma figura que en el caso anterior, donde se observa que el ángulo C del triángulo rojo es la mitad de los ángulos sumados beta + gamma, (triángulos verde y azul), podemos demostrar de forma más general que el ángulo alfa más el ángulo fi, también es la mitad del ángulo formado por la suma de beta, más gamma más épsilon (la que corresponde a los triángulos verde, azul y ocre).
La demostración del ejercicio anterior, nos mostraba que alfa era la mitad de beta más gamma. Era un ángulo inscrito relacionado con un ángulo central bajo la misma cuerda con la particularidad de que CD era  un diámetro de la circunferencia. En este nuevo caso tenemos a la izquierda un ejemplo igual, el ángulo fi es la mitad del ángulo épsilon, el primero es un ángulo inscrito y el segundo central y ambos están limitados por un diámetro de la circunferencia CD.
Si sumamos ambos casos tendremos que el ángulo beta, gamma y épsilon será necesariamente el doble de la suma del ángulo alfa más el ángulo fi. De ello se desprende que el arco EH comprende un ángulo central que es doble que el inscrito y cuyo vértice es C.

---------------------------------------------------------------------






Demuestra que el ángulo beta, determinados por la tangente y una cuerda, es igual al ángulo inscrito que subtiende la misma cuerda JD en el caso particular de que EJ es un diámetro de la circunferencia.
Si unimos el punto E con un punto cualquiera C de la circunferencia tenemos el ángulo épsilon, según el teorema dos, todos los ángulos inscritos en la circunferencia que abarcan un mismo arco son todos iguales, por tanto el ángulo verde que abarca el mismo arco es igual, y como beta suma con este último 90° por ser DC un diámetro, el ángulo azul será también 90° menos los 40° que vale el verde, en consecuencia son iguales.
---------------------------------------------------------------------






Demuestra que el ángulo azul y verde son iguales.
El ángulo verde está formado por la cuerda DC y una tangente, si por C hacemos la recta que pasa por el centro A de la circunferencia tenemos un diámetro que es perpendicular a la tangente en C. Ambas rectas, como ya se dijo, son perpendiculares y por tanto forman 90°. 
Cuando dos ángulos inscritos están comprendidos bajo la misma cuerda DF, también son iguales, por tanto el ángulo de vértice C del triángulo rosa es de 47,18° y el ángulo amarillo de vértice E es igual al anterior por estar comprendidos ambos bajo la misma cuerda DF.
Pero el ángulo verde de 42,82° es 90 menos el ángulo rosa y el ángulo azul de vértice E también es 90 menos el ángulo rosa, o menos el ángulo amarillo, que son el mismo, de ello se desprende que el ángulo verde es igual al azul, ya que sus extremos también están comprendidos entre FE y CE, una cuerda FC que es diámetro de la circunferencia.





---------------------------------------------------------------------



Demuestra que el ángulo formado por una tangente en un punto B' de la circunferencia y la cuerda B'D, es igual al ángulo inscrito D' esque comprende la misma cuerda.
El ángulo que forma la tangente y la cuerda es de 63, 81°, marcado en color verde en el dibujo, si tomamos por D, extremo de la cuerda, una recta paralela DD' a la tangente obtenemos el punto simétrico de D, que es por donde vamos a trazar el ángulo inscrito azul bajo la misma cuerda.
Como el ángulo rojo y verde son alternos internos y están comprendidos por dos rectas paralelas cortadas por una secante valen lo mismo, y como el ángulo azul es simétrico del ángulo rojo respecto al diámetro ortogonal B'H a la tangente tenemos que tiene el mismo valor, por tanto el ángulo azul es igual al ángulo verde.
En estas demostración siempre se va a dar el caso de que el ángulo azul y rojo son iguales por ser siempre  B'D'D un triángulo isósceles, y como necesariamente los ángulos alternos e internos también van a ser iguales, podemos deducir que siempre el ángulo verde y azul también van a ser iguales.



---------------------------------------------------------------------


Ejercicios resueltos mediante el arco capaz. Teorema 4 y 2.

Número uno: se trata de calcular un punto cualquiera desde el que se observe el segmento s bajó un ángulo dado b.
Colocamos ese ángulo dado b a partir del extremo H del segmento s y por ese mismo punto hacemos una recta perpendicular y (en color amarillo) al lado a. Donde la recta perpendicular y corta a la perpendicular r por el punto medio de la recta s obtenemos el centro de la circunferencia W que contiene a todos los puntos por encima del segmento bajo los cuales se ve el segmento s bajo el ángulo dado b.
Tomemos un punto cualquiera de la circunferencia, por ejemplo el punto Q y lo unimos con los extremos del segmento s, observamos que el ángulo g es igual al ángulo dado b, por lo que desde este punto observamos el segmento bajo el ángulo dado b, ya que b es igual al ángulo g.
La simétrica de la circunferencia en color violeta respecto al eje s nos generaría por debajo los puntos de la circunferencia que se ven bajo ese ángulo.
Número dos: se trata de calcular los puntos desde los que se  observa un segmento t bajo un ángulo dado p y una distancia dada d.
Es el mismo ejercicio que en el caso uno, con la restricción de que sólo los puntos que corten a la circunferencia bajo una distancia d, son los que cumplen tal condición. Respecto al ejercicio anterior sólo hay que hacer una recta paralela ñ a la recta dada t y donde corte a la circunferencia verde en los puntos I L , tenemos que desde ambos se observa el segmento bajo el ángulo dado p y distancia dada d.
El procedimiento para calcular el arco capaz se resuelve como en el caso número uno, se coloca el ángulo p por debajo del segmento dado t y en el extremo J de este segmento se hace una recta perpendicular z al lado m del ángulo p. Donde esta recta perpendicular corta a otra recta perpendicular v trazada por el punto medio del segmento t (mediatriz), obtenemos el centro de la circunferencia U. Tomando como radio UJ tenemos la circunferencia desde la que se ve (desde sus puntos) el segmento t bajo un ángulo dado p.
La intersección de la recta ñ (trazada a una distancia d respecto a la recta dada t ) con la circunferencia determina los dos puntos I L por encima del segmento t bajo los cuales se ve el mismo bajo un ángulo dado p y una distancia dada d.
En el dibujo podemos observar que los ángulos n o por encima del segmento t son iguales al ángulo dado p.





---------------------------------------------------------------------






Problema de Pothenot

Se trata de localizar nuestra posición P en un mapa teniendo delante la costa y en la que marcamos tres puntos ABC, para determinar la distancia real a la que nos encontramos.
Se trazan dos segmentos m n sobre el mapa, los correspondientes a la unión de los dos puntos AB y a los otros dos BC, tres puntos cualesquiera que en la práctica podamos vislumbrar desde nuestra embarcación. A continuación se hace el arco capaz de ambos segmentos sobre el mapa, la intersección de las dos circunferencias entre centros O1 O2  bajo las cuales se ven los segmentos AB BC, determina la localización exacta de nuestra posición P. Para obtener el arco capaz, necesitamos medir desde nuestra embarcación los ángulos que determinan cada par de puntos, ello se puede obtener de forma aproximada con dos varillas que colocamos delante de nuestro ojo, sirviéndonos si podemos de una mirilla para mayor precisión.
Pasos: hacemos los segmentos de unión entre los puntos AB BC (tres puntos marcados sobre el mapa y que podemos observar desde nuestra embarcación), dibujamos los ángulos k g bajo los cuales vemos tales segmentos por debajo de estos (debemos medirlos desde nuestra embarcación), trazamos rectas perpendiculares por los puntos A C a los lados que son extremo de los ángulos. Donde estas rectas perpendiculares corten a las mediatrices e d de los segmentos m n obtenemos los centros de las circunferencias O1 O2 en cuya intersección localizamos nuestra posición P.

---------------------------------------------------------------------

No hay comentarios:

Publicar un comentario